Combinação e Arranjo; Fatorial

Antes de começarmos, usa-se muito na matéria de "Combinações e Arranjos" a regra do  OU e a do E. 

De uma maneira geral:

* ao usar o ou devemos SOMAR.

* ao usar o e devemos multiplicar

A utilização dessa regra é exemplificada mais abaixo, por hora, generalizando, a usaremos sempre que encontrarmos duas ou mais combinações/arranjos em um mesmo problema. Veremos depois, por enquanto, apensas prestem a atenção se encontram o OU e E nas explicações.

Combinação

Na combinação, a ordem dos números não importa. Ou seja, não importa como os elementos são dispostos em um conjunto.

Por exemplo: Ao fazer uma salada de frutas. Escolhemos maça, mamão e banana.

Então, no dia seguinte, fazemos outra salada de frutas com banana, mamão e maça.

Percebam que não fez diferença, a salada de frutas dos dois dia ainda tem as mesmas frutas e, portanto, são iguais. 

Isso que caracteriza uma combinação.

Agora que sabemos o conceito, vamos ver a fórmula para o cálculo:

Sendo

n: numero de possibilidades totais

s: numero de possibilidade que queremos (favoráveis).

!: fatorial

* Fatorial: significa uma multiplicação de um número 'n' por (n-1).(n-2)... até chegar em 1.

Na prática, sempre que encontrarmos um número com um ponto de exclamação, começaremos a partir dele e em seguida multiplicaremos por ele - 1, até chegar no número um. 

Vejamos com números para facilitar:

9!  = 9.8.7.6.5.4.3.2.1

Basta resolver a multiplicação para encontrar o valor.

Veja outros exemplos:

7! = 7.6.5.4.3.2.1

10! = 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1

2! = 2.1

Quando se aprofunda no assunto, encontramos duas situações complicadas. 

0! 

1! 

Existe uma explicação para os casos. O primeiro caso, a resposta é 1, entretanto, raramente é utilizado em uma operação, sendo assim, apenas saber o valor já é o suficiente.

1! também é 1 e, nesse caso, é bem simples entender porque, afinal, devemos multiplicar o 1 pelo número anterior até chegar em 'um', mas, nesse caso, o próprio número já é o 1, sendo essa, portanto, a resposta.

Generalizaremos, então:

0! = 1

1! = 1

Voltando para a fórmula, quando encontrarmos números pequenos para 's' e 'n', podemos simplesmente fazer a conta manualmente, mas, se encontrarmos um número muito grande, não convém fazer:

Por exemplo, se n = 60 s = 59.

Notem que teríamos de multiplicar 60! Que seria (60.59.58.57.56.55.54.53.52.51......3.2.1). Essa conta é tão grande que nem calculadoras comuns fazem, somente científicas conseguem, sendo que essas arredondarão o valor para encontrar algo próximo do valor real.

Entretanto, não é necessário achar o valor, não nesse caso. Por exemplo, vejam enquanto eu calculo essa combinação:

Como eu disse acima, 60! = 60.59.58.57.56.....3.2.1. 

Logo, eu posso dizer que 60! é igual a 60.59! 

Afinal, 59! = 59.58.57.56....3.2.1

Então:

Não sabemos quanto vale 59!, entretanto, sabemos que nessa conta, multiplicaremos por 59! e em seguida dividiremos por 59! Ou seja, multiplicaremos e dividiremos pelo mesmo valor, podemos simplesmente cortar esse 59!

---------

O resultado final então é 60.

Ok, sabemos como calcular, mas como utilizar essa operação? Geralmente, teremos um problema, e através dele, chegaremos nessa operação, veja:

Exemplo de combinação: 12 jogadores são levados para uma partida de vôlei, apenas 6 entrarão em quadra no início do jogo. Sabendo que 2 são levantadores e 10 são atacantes, como escolher 1 levantador e 5 atacantes?

Para resolver, definimos: 

- Dos 2 levantadores vamos escolher 1;

- Dos 10 atacantes, apenas 5 serão escolhidos.

Vejam que não sabemos quem são os jogadores especificamente, mas, não faz diferença quem for escolhido.

Exatamente por não fazer diferença, dizemos que a ordem como eles são escolhidos, não importa. E se a ordem não importa, então é uma Combinação.

Podemos usar a fórmula e o faremos em partes. 

Levantadores

n = 2. Porque são 2 levantadores no time;

s = 1.  Porque só podemos escolher 1 levantador.

Assim:

Temos duas maneiras de escolher um levantador.

Atacantes

n = 10     Pois temos 10 atacantes no time;

s = 5       Podemos escolher somente 5.

Tenho 252 maneiras diferentes de escolher 5 atacantes entre os 10 disponíveis.

Agora, um time obrigatoriamente possui 5 atacantes e 1 levantador. Precisamos, portanto, de levantadores E atacantes. 

Chegamos em uma situação onde a regra citada lá em cima se aplica, pois tivemos de fazer duas combinações. Pela regra, ao usar 'E' precisamos multiplicar. 

Logo, teremos 2 x 252 = 504 formas de escolher o time.

Arranjo

No arranjo, a ordem dos fatores importa. 

Vejamos um exemplo para esclarecer onde a ordem faz toda a diferença:

Você foi contratado por uma empresa, e seu salário será 985 R$. Entretanto, por algum engano, seu primeiro pagamento tem o valor de 598 R$. 

Percebam que os números são os mesmos, mas, estão em ordem diferente e isso faz toda a diferença. 

Se por acaso alguém não conseguir entender a diferença, apenas se coloque na situação, você gostaria de receber o segundo salário, sendo que você deveria receber o primeiro? Se você não gostaria, então a mudança de ordem dos números fez diferença.

Se tem diferença então é Arranjo.

A fórmula para cálculo de arranjo simples é dada por:

 

Sendo

n: numero de possibilidades totais.

p: numero de possibilidades a favor.

!: Fatorial

Exemplo: 25 pilotos participam de uma corrida, qual o número total de possibilidades para os três primeiros colocados?

Percebam que, faz toda a diferença ser o primeiro colocado ou ser o segundo colocado.

Se faz diferença, então é arranjo.

Ao usarmos o arranjo simples, temos sua fórmula:

13800 maneiras diferentes de se organizar um pódio.