Raízes

Todos nós em algum momento, já ouvimos falar de raízes. Raízes quadradas, cúbicas, fazem parte de nossa vida escolar.
Graças a facilidade da calculadora, quase nunca nos preocupamos em achar o valor de uma raiz manualmente, até porque na nossa vida, são raras as horas onde é necessário calcular raízes.

Vamos então aprender a fazer esses cálculos de maneira manual.

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Essa postagem é uma complementação da postagem Radiação e Potenciação . Se você ainda não leu, leia e então, retorne aqui.
Começaremos com raiz quadrada.

Como sabemos raiz quadrada é sempre que encontramos um √ sem nenhum número em cima. E para o cálculo, vamos usar um procedimento muito similar com o MMC das frações

Vamos fazendo e aprendendo ao mesmo tempo:

Antes de começar, devemos sempre olhar para o sinal do número dentro da raiz. Se for um número positivo, podemos então continuar.
Para calcular vamos pegar o número dentro da raiz e desenhá-lo com um barra ao lado.

Então, começamos. Precisamos testar números. O recomendado é sempre usar números primos. Por isso, sempre começamos pelo número dois. Vamos coloca-lo no lado direito da barra.

Agora, dividiremos o número da esquerda pelo da direita, colando o resultado à esquerda.

Toda vez que encontrarmos um valor no lado esquerdo, temos de testar números à direita. Usamos o 2 em cima e novamente usaremos o 2.

 

Dividindo:

E assim continuamos, até encontrarmos 1 no lado esquerdo:

      

Agora que encontramos o 1, vamos contar quantos números tem à direita da barra.

Temos dez '2'.  

Terminamos, agora só falta escolher de que maneira mostrar o resultado.
A primeira forma de resultado é através de multiplicação. Afinal, nós dividimos o número 1024, logo

sabemos que 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 1024

Estamos calculando uma Raiz Quadrada, e quadrada lembra o número dois.

Aqui está a regra para resolver as raízes quadradas: Juntaremos esses valores de dois em dois (Desde que sejam valores iguais) . E para cada dois, pegaremos apenas um valor:

Agora, novamente, contaremos quantos números sobraram (Os números em azul)

Temos cinco vezes o números 2. Essa é a resposta da nossa raiz:
2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32

Testando através da prova real, se raiz quadrada de 1024 é 32, então 32 ao quadrado tem de ser 1024 (Se mesmo com a prova real, ainda restar dúvidas, veja na postagem sobre igualdades):

√1024 = 32, logo -> (32)² = 1024.  

Sim, a prova real, confirmou.

Podemos fazer de outra forma: Lá em cima, encontramos que 1024 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2. Então, posso substituir o 1024 da raiz:

 

Vamos multiplicar os números de dois em dois (Porque é raiz quadrada)

Agora, sabemos que produtos dentro uma raiz, é a mesma coisa que produtos de raízes:

Raiz quadrada de 4, é uma das raízes mais fáceis de todas, sabemos decorado que o resultado é 2, sendo assim:

Agora, apenas multiplicando o que encontramos (2 x 2 x 2 x 2 x 2) descobrimos o resultado final, 32.

Se alguém tiver dificuldade em descobrir o valor de √4 então, podemos calcular na hora esse resultado. Quando encontramos 

Vamos novamente juntar os números de dois em dois, mas ao invés de multiplicarmos, vamos elevar (afinal  2 x 2 = 2²).

E então, separamos:

Agora, só nos resta resolver:

Encontramos a resposta do mesmo jeito.

Vamos agora, resolver uma raiz de índice diferente.
Funciona da mesma maneira (aliás, para todas as raízes o método é o mesmo). Porém tem uma diferença básica.

Como eu disse mais acima, somente podemos fazer raiz quadrada se o número for positivo. Isso não é toda a história. Na verdade, não conseguimos encontrar a raiz de um número negativo, sempre que o índice da raiz for PAR.
Faremos então, um com índice impar. Nesse caso, não há restrição. Justamente por isso, começaremos com:

Vamos fazer do mesmo jeito:

Sempre devemos começar pelo número 2, mas percebam que -27 dividido por 2, não resulta em um número inteiro , sendo assim, não podemos começar pelo 2. Vamos ao próximo número primo, o  3 (pois -27 / 3 resulta em um número inteiro) :

E então, continuamos ate encontrar o '1'

Como estamos em uma raiz cúbica, vamos nos resultados e os agrupamos de 3 em 3, e para cada três, pegaremos um:

Esse número encontrado é o resultado da raiz (3). Porém, notem, não encontramos '1' como deveríamos, encontramos '-1' no lugar. Isso quer dizer, que nosso resultado é na verdade negativo, sendo assim -3.

Podemos fazer a prova real, e veremos:
-3³ = (-3) x (-3) x (-3) = -27

*Não esqueçam o jogo de sinal. 

As raízes que resolvemos até agora, resultaram em valores exatos, mas nem sempre será assim:


Vamos ao mecanismo:
 
Notem, não posso dividir 5 por 2, e também não posso dividir por 3. Sendo assim, o próximo número primo será 5

Fim. Agora é a hora de juntar os números de 2 em 2 (pois é raiz quadrada). Só que não podemos, afinal temos 3 números, dois 2 e um 5. Nesse caso, e em outros semelhantes, juntaremos o que podemos e deixamos o que não podemos fazer nada:

Como sabemos, esse é o resultado final, porém ele não está completo, já que faltou o '5'. Dessa forma o 5 não saiu da raiz, ele ainda está lá dentro, e ficará lá mesmo:

Essa é a resposta. Como eu disse, essa raiz não deu um valor exato, mas mesmo assim, podemos trabalhar com números desse jeito, como qualquer outro.


Para saber como usar somar ou multiplicar números com raízes, clique nos links:  e Racionalização