Matemática Básica

     Muitos alunos dizem odiar a matemática, alegam que é uma matéria impossível de se entender, quase como se fosse ensinada em outra língua. Entretanto, essa dificuldade de se aprender matemática se dá pela falta de conhecimento básico da mesma. Pois matemática é acumulativa, ou seja, um assunto aprendido hoje será sempre complementado e aprofundado no futuro. Por isso que muitos têm dificuldades. Eles não aprenderam o básico e por isso não conseguem acompanhar enquanto esses assuntos começam a ficar mais complexos.

    Com esse pensamento, farei uma série de postagens sobre os assuntos iniciais da matemática, elas estão disponíveis abaixo.

* Soma e Subtração

* Multiplicação e Divisão

* Frações

* Prova Real

* Números inteiros, Naturais, Racionais, Irracionais e Reais

* Racionalização

* Porcentagem

*Números decimais - Potências de 10

* Radiciação e Potenciação

* Jogo de Sinais

1 e 0 - Números neutros, absurdos e indeterminações

Você chegou nessa página vindo da postagem de Soma e Subtração, ou Frações ou ainda Multiplicação e Divisão (Se você ainda não as leu, clique sobre os nomes de cada uma e leia-as antes de continuar, pois, são pré-requisitos deste conteúdo).

Existe na matemática números conhecidos como 'Neutros'. Como o nome sugere, são números que não fazem diferença em uma operação matemática.

Vamos começar pela soma:

Na soma o elemento neutro é o 0 (Zero).

Percebam o que acontece se somar 0 a algum número qualquer

3  + 0  = 3
4  + 0  = 4
15 + 0 = 15
3.000 + 0 = 3.000
0,5 + 0 = 0,5

Resumindo, adicionar zero a um número, resulta sempre no número original. A mesma regra é válida para subtração.

3 - 0 = 3


Multiplicação
Na multiplicação, o elemento neutro é o 1. Vejamos o que acontece ao multiplicar um número qualquer por 1:

31 x 1 = 31
15 x 1 = 15
10 x 1 = 10
1 x 1 = 1

A mesma regra também é válida para a divisão.
13/1 = 13
5/1 = 5

E para exponenciação.
15¹ = 15
2¹ = 2


Agora, uma pergunta pode surgir, um elemento neutro de uma operação também é neutro em outra? Não, muito pelo contrário.

Vamos usar o elemento neutro da soma, na multiplicação e divisão:

10 x 0 = 0
11 x 0 = 0
5 x 0 = 0
0 x 0 = 0

Nota-se um resultado bem diferente. Podendo então definir uma regra: Multiplicar um número por zero, resulta em zero como resposta. 

Mas e quanto à divisão?

4/0 = ??

Eu poderia dizer que o resultado é 0? 

Não.

Não existe como realizar uma divisão de qualquer número por zero, isso é conhecido como Absurdo Matemático.

Podemos facilmente provar essa afirmação utilizando a Prova Real.

Para comprovarmos, primeiro partiremos do princípio de que a divisão de um número por zero é possível e então veremos o resultado. 
Com esse objetivo, vamos supor que 4/0 seja 2.

Sendo assim, usando o conceito da prova real, 2 x 0 = 4. 
Sabemos, porém, que a operação acima não é verdadeira, afinal, multiplicar um número qualquer por zero, sempre tem zero como resultado. 

Assim sendo, não existe resposta que seja matematicamente válida para essa multiplicação, por isso, essa operação é chamada de absurdo, pois ela é inválida.  

Mais alguns exemplos:

4/ 0 = 0     ->  0 x 0 = 4 ?
4/ 0 = 1      ->  1 x 0 = 4 ?


Mas e se eu fizesse 0/0?



Então, encontraríamos uma Indeterminação Matemática

Vejamos.
0/0 = ? 

Como no exemplo anterior, vamos supor essa operação exista e que o resultado de 0/0 seja 4. Verificaremos a veracidade da afirmação através da prova real:

4 x 0 = 0

Deu certo! A prova real comprovou.

Mas e se eu por acaso não tivesse testado o 4 e sim outro número na prova real:

Supondo ser 1:
0/0 = 1     

E na prova real:
 1 x 0 = 0

Deu certo novamente?

Esse é o significado de uma indeterminação matemática, que seria uma operação simples que possui infinitas respostas corretas, sendo impossível determinar quantas e quais são.



* Para os leitores que irão fazer algum curso de nível superior na área de matemática, haverá estudos mais a fundo nesses casos de 'divisão por zero'. Mas para os que se preocupam apenas com vestibular, este é o nível máximo que pode ser cobrado de algum aluno, pois é esse o conteúdo do ensino médio.

Frações, MMC , Operações, Simplificação

Índice
1 - Frações
2 - A pronúncia
3 - Numerador e denominador
4 - Operações entre frações
  4.1 - Soma
  4.2 - MMC
  4.3 -Multiplicação de Frações
  4.4 - Divisão de Frações
  4.5 -Multiplicar/Dividir frações por números
5 - Simplificação em fração
6 - Numero < - > Fração

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Raízes

Todos nós em algum momento, já ouvimos falar de raízes. Raízes quadradas, cúbicas, fazem parte de nossa vida escolar.
Graças a facilidade da calculadora, quase nunca nos preocupamos em achar o valor de uma raiz manualmente, até porque na nossa vida, são raras as horas onde é necessário calcular raízes.

Vamos então aprender a fazer esses cálculos de maneira manual.

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Regra de Três

O processo matemático conhecido por regra de três recebe esse nome, pois ele relaciona 3 fatores.  

Mas o que seriam esses fatores?Esses fatores são grandezas. Se elas tiverem entre si alguma relação de  proporcionalidade, podemos então usar a regra de três, nesse caso também chamada de regra de três simples.

Antes de aprofundarmos o assunto, vamos definir o que seria essa proporcionalidade.

Grandezas que estão relacionadas entre si por uma relação de proporcionalidade, isso significa que duas grandezas diferentes se comportam uma de maneira proporcional a outra, em outras palavras, uma influencia a outra. 

 Continue lendo após clicar aqui, ou em "mais informações", logo abaixo.

 

Equação Do 1º Grau

Equações são muito frequentes na nossa vida acadêmica. Embora saibamos resolver, nem sempre nos damos conta do que realmente elas significam.

Uma equação do primeiro grau recebe esse nome, justamente pelo fato dela só ter uma resposta final. E por isso, quase sempre elas são extremamente simples de se resolver.

E aparece pela primeira vez na nossa vida o 'x'.
Ou o que esse x representa, que é uma Incógnita. Costumamos usar muito mais o x, mas qualquer outra letra do alfabeto também é válida.
Uma incógnita é um valor, que não sabemos que valor é, queremos encontrá-lo. Por isso que o 'x' e qualquer outra letra usada também podem ser chamados de variáveis, pois como usamos sempre o x em equações e encontramos um resultado diferente para cada um delas os resultados variam.

Toda equação do primeiro grau possui uma Igualdade. E é com essa igualdade que descobriremos tudo o que queremos.

A forma de uma equação de primeiro grau é essa:

ax + b = 0

Onde a e b são números. Sendo que o a não pode ser zero. Isso porque, se a=0 :

0.x + b = 0
b = 0

Encontraríamos que b é zero, e isso é uma igualdade, e não uma equação, afinal não tem ' x ' nenhum.

Vamos a exemplos:

3x + 6 = 0
Já aprendemos a fazer contas com Igualdade (Se não, clique aqui e aprenda).

Aparece aqui, basicamente a única regra específica que temos em equações do 1º grau. Uma equação possui dois lados, antes e depois do sinal de igual ( = ), temos de ISOLAR sempre o x, para isso, precisamos sempre colocar número perto de número e letra perto de letra. 

Percebam aqui, temos x e 6 do mesmo lado da igualdade, pela regra não podemos deixar isso, e do outro lado da igualdade temos um 0, que é um número, vamos então passar o 6 para o outro lado, onde ele ficará negativo.

3x = 0 - 6

Percebam que temos 'x' do lado esquerdo da igualdade, e dois números no lado direito da igualdade, podemos prosseguir então:
E então, dividimos:

x = -6/3 
x = -2

Pronto, x = -2. Achamos o valor de x.

Muitos podem ficar em dúvida quanto ao '3' do exemplo anterior, afinal, os números foram colocados no lado direito, mas porque o 3 ficou do lado esquerdo da igualdade junto com o 'x'?. 
O 3 na verdade está multiplicando o x, por isso ele se torna parte do x. Se alguém tiver duvida ainda, leia o 3x ( três xis = ou seja x + x + x, ou ainda x x x ) Por isso 3x não é um número, e sim letras



Outro exemplo:

4x +16 = 0
4x = -16
x = -16/4
x = -4
Portanto, x = -4 .

Percebam o que eu disse anteriormente, eu poderia refazer essas contas quantas vezes quisesse, e elas dariam todas o mesmo resultado, por isso incógnita, entretanto, nas duas equações diferentes, usamos o 'x', e encontramos valores diferentes para ele, por isso variável

* 10x - 100 = 0
10x = 100
x = 100/10
x = 10

E se do outro lado da igualdade não for zero? Não muda nada, resolvemos da mesma forma

15x - 45 = 15
15x = 15 + 45
15x = 60
x = 60/15
x = 4

Se do outro lado da igualdade tiver um outro x? Nesse caso, teríamos então x nos dois lados da equação, não mudaria nada também. Apenas que teríamos que passar os números e as letras para o mesmo lado. Observem:

x + 30 = 4x - 3
x - 4x = -3 - 30
-3x = -33
x = 11

8x + 10 = 5x - 10
8x - 5x = -10 - 10
3x = -20
x = -20/3 

Note que nem sempre o resultado de x será Inteiro.

3y = 10 + y
3y - y = 10
2y = 10
y = 10/2
y = 5

E que com 'y' ou qualquer outra letra, o modo de resolver é igual.


Agora que sabemos como resolver e encontrar o valor de x. O que fazemos com esse x?
Podemos substituir esse valor no 'x' do início da questão e ver o resultado que encontramos.
Veja usando um exemplo já resolvido anteriormente:


10x - 100 = 0

Descobrimos que o x=10, então

(10 . 10) - 100
100 - 100
0

Viram, encontramos ao final 0, que é exatamente o valor que está no lado direito da igualdade, e é exatamente esse o valor que deveríamos encontrar. Substitui o 'x' então fica como uma forma de Prova Real para nossos problemas, o resultado final deverá sempre ser  o valor a direita da igualdade.

Mais um exemplo para concluir:
15x - 45 = 15

x = 4

(15 . 4 ) -  45 
60 - 45
15



Podemos ainda fazer um gráfico de equação do Primeiro Grau, para aprender, clique aqui

Equações do Segundo Grau

Na mesma linha de pensamento das Equações de Primeiro Grau. Temos as de segundo.
Como o nome sugere, são equações onde a resposta final, é na verdade 2 valores.

* Apenas relembrando que outras postagens anteriores são fundamentais para o entendimento dessa, tais como Igualdades  e Ordem de Preferência .

Na postagem de equação do primeiro grau tínhamos algo como 3x +2 = 0 .
Percebam o 'x'. Sabemos que quando não tem nada em cima de um número é porque tem um 1. Por isso que era chamado de equação do 1º grau. Porque o expoente máximo encontrado era 1.

Portanto o maior número de expoente é chamado de grau. Portanto até então tínhamos equações de grau 1. E agora, teremos de grau 2:

2x² - 3 = 0

Temos um '2' em cima do x. Sempre que encontrarmos um valor em cima do x, podemos generalizar o número de respostas finais é igual ao número do expoente. Nesse caso, temos duas respostas para essa equação.

Podemos resolver essa equação como resolvemos qualquer outra igualdade:

2x² = 3
x² = 3/2
x² = 1,5
x = √1,5

Muitos chegam aqui e pensam. Mas não deveria encontrar dois valores? Sim, inclusive encontramos dois valores.
√1,5 = 1,225.

 Só que sabemos que 1,225 ao quadrado é 1,5. Porém, -1,225 ao quadrado também é 1,5
Portanto, √1,5 é = 1,225 ou -1,225

Pronto, encontramos 2 resultados, exatamente como esperado.


Nem todos as equações que encontraremos vão ser tão simples assim (aliás, raramente encontraremos equações tão fáceis assim). Essas equação são chamadas de Equações Incompletas. Pois faltam termos.

Uma maneira padrão de encontrarmos é:
ax² + bx + c = 0

Onde a, b e c são números. Sendo que a não é 0
Uma das  principais diferenças da equação do segundo grau é a presença de dois ou 'x's, sendo que nós não poderemos somar um com o outro (veremos isso mais abaixo)

Apenas frisando, não pode ser a=0 , porque 0.x² = 0 . Ou seja, se o a =0 só teremos bx +c = 0 . E isso é uma equação do primeiro grau)

Agora não podemos resolver como resolvíamos as igualdades. Vamos ter de usa a chamada fórmula de Bhaskara

Antes de irmos definitivamente para ela, devemos prestar a atenção que a fórmula só pode ser usada quando o lado direito da igualdade for 0. Se não for, devemos fazer virar um 0.

Essa é a formula:
Primeiro

Onde
Δ = Delta.
a,b,c= são os números da equação.

Mas isso não é tudo. Depois de encontrarmos o valor de Delta, temos de continuar.
Segundo

Percebam que logo após o 'b' tem um + e um - . Isso é porque teremos de fazer essa conta duas vezes. Uma com o mais e outra com o menos.
* Essa expressão, é a expressão completa. Mas alunos com um pouco de dificuldade podem separa-la em duas para facilitar:


De qualquer forma, essa parte final precisa ser feita duas vezes, por isso que nesse última imagem, podemos ver um ' em cima do x . E um " em cima do outro x. Isso quer dizer que os x são a primeira e a segunda resposta da equação de segundo grau. 
*Algumas pessoas entretanto acham mais fácil resolver tudo junto, então, em todo caso:


O resultado final sera igual. Apenas que a última fórmula não precisa do Delta, os resultados já saem direto.

Vamos a um exemplo:

x² - 5x = -6

Só podemos utilizar Bhaskara se no lado direito da igualdade tiver um 0. Não é esse o caso, logo, teremos que fazer aparecer um zero lá. Para isso, passaremos o -6 para o outro lado.

x² - 5x + 6 = 0

Agora, vamos identificar o a,b e c
a = 1         (É o valor que acompanha o x²)
b = -5       (É o valor que acompanha o x, inclusive com sinal de negativo)
c = 6         (É o valor que não tem nenhum x, ou seja, o número sozinho)

Colocando na fórmula

E agora, resolvemos


Encontrado o Delta, agora só nos resta encontrar os valores de x:



Pronto. x' = 3 e x" = 2


Tem outra maneira de se resolver esse exercício, e as outras equações do segundo grau. É pelo chamado Soma e Produto.

Essa maneira é mais rápida de se resolver o problema, e apesar de funcionar em todos os casos, o único problema desse método é que algumas questões são impossíveis de se achar o resultado através desse método. Veremos isso mais tarde.

Vamos resolver o mesmo exercício por Soma e Produto:
x² - 5x + 6 = 0
Vamos usar duas fórmulas para isso. Quando for:
Soma =  -b/a 
Produto = c/a

Assim:
 -b /a  -> - (-5) / 1 = 5

c/a ->  6/1 =   6

Agora fazemos  uma tabela:
Sabemos que a soma é 5. Então precisamos de todos os números que somados deem 5 (existem infinitos, então vamos só nos primeiros, mas pode escolher quaisquer dois números)

-2+7
-1+6
 1+4               (Percebam que o resultado da soma desses números é sempre 5)
 2+3

E então, agora que sabemos alguns números que somados dão 5, precisamos que eles ao mesmo tempo, ao serem multiplicados deem como resultado 6. (Afinal foi esse o valor que encontramos em produto)
Vamos repetir esses números que escolhemos em cima, e agora multiplicaremos um pelo outro:
-2+7   (-2 x 7 = -14   )
-1+6   (-1 x 6 = -6 )
 1+4    (1 x 4 = 4 )
 2+3    (2 x 3 = 6) 

Encontramos, 2 e 3. Somados eles dão 5, e multiplicados eles dão 6. Sendo assim, esses dois números são a resposta da nossa equação.

Foi mais fácil resolver desse jeito, do que por Bhaskara, principalmente porque achamos esses valores bem facilmente, mas se fossem números maiores que 2 ou 3 teríamos que testar cada vez mais números e se tornaria uma tarefa cada vez maior. Imaginem se a nossa Soma tivesse dado 15 e o Produto 56.
Para soma 15 temos:

-4+19
-3+18
-2+17
-1+16
1 + 14
2 + 13
3 + 12
4 + 11
5 + 10
6 + 9
7 + 8     (7 x 8 = 56)    

(Percebam que teríamos de testar 11 casos para encontrar a resposta, e esse número ainda poderia ser maior)

Ou poderia ser quase impossível. Veja

2x² - 3x - 7

Ao fazer Soma e Produto :
Soma: 3/2  = 1,5
Produto:  c/a = -7/2 = -3,5

Um macete para entender a Soma e Produto, é fazer uma pergunta "Quais são os dois números cuja soma é 1,5 e o produto entre eles é 3,5?"
 Para uma pessoa, é praticamente impossível de resolver essa. (Eu diria que é impossível!)
Os números que teríamos que testar são infinitos. Apenas para ilustrar o que eu estou dizendo, vamos a resposta:
Os números são -1,2656654 e 2,7655644.  Eles estão inclusive, arredondados.

Nesse caso, não tem escapatória, teríamos de usa Bhaskara. Vamos lá:
2x² - 3x - 7
a = 2
b = -3
c = -7


Aproveitando o que encontramos, vejam que o Delta deu um valor que não tem raiz quadrada exata, por isso que o número foi tão quebrado desse jeito.

Por fim, veremos uma última maneira de se resolver esses exercícios. Mas no mesmo esquema do Soma e Produto, é mais fácil, mas só alguns casos, outros são praticamente impossíveis de se resolver. Vamos por razões obvias resolver o primeiro exemplo:
x² - 5x + 6 = 0
Como aprendemos em igualdade, o que está no lado esquerdo da igualdade tem que ser igual ao que está a direita da igualdade. Portanto, podemos chutar valores para 'x' e resolver para ver se encontramos 0. Veja:

x=1 Todos os lugares em que tiver um 'x' vamos colocar esse valor 1:

1² - 5.1 + 6 
1 - 5 + 6
2  ≠ 0 

x = 2
2² - 5.2 + 6
4 - 10 + 6
0 = 0

     Encontramos um valor que 'zera' nossa equação, então esse valor '2', é a resposta. Mas aí está uma das maiores falhas desse método, não tem como ter certeza que essa é a única resposta, deveríamos continuar testando para ver se encontramos outra resposta. (Sabemos que tem outra, mas somente porque já resolvemos esse exercício duas vezes)

x = 3
3² - 5.3 + 6
9 - 15 + 6
0 = 0 

Portanto, as respostas são 2 e 3.

Agora que vimos isso, vamos nos aprofundar nas nomenclaturas. Esse 'valor' que encontramos por S e P (Soma e Produto) ou Bhaskara é chamado de Raiz. Ou ainda, é chamada de Zero(s) da função. Exatamente porque esse valor, ao ser substituído na função, resulta em zero. 

Agora que aprendemos essa parte, voltemos para o Bhaskara por um momento:
Em alguns casos podemos encontrar:

* ∆ > 0 (Positivo) Então a equação tem 2 raízes reais distintas.
* ∆ = 0 → a equação tem somente uma raiz real (Ou 2 raízes iguais).
* ∆ < 0 → a equação não tem  raiz real. 

Podemos então, avançar para os gráficos, mas esse conteúdo é para outra postagem.
Leia-a clicando aqui

Gráficos: 1º e 2º Grau ; Plano Cartesiano ; Coordenada

Como vimos nas equações (aqui e aqui), para cada igualdade com uma variável, temos como determinar um valor para a variável, comumente conhecida como 'x'.

Mas e se fizermos o contrário? E se colocássemos vários valores de x ?

O resultado ia ter a mesma lógica, só que ao contrário, afinal, em cada cada valor de x, será encontrado valores para a igualdade. Observe:

3x + 6 = 0

Chutando, aleatoriamente, valores para x e então substituindo-os na equação, é possível verificar qual o novo valor para a igualdade:

     x         |          Resultado
-2             |      3 . (-2) + 6 = 0
-1             |      3 . (-1) + 6 = 3
 0             |      3 . (0)   + 6 = 6
 1             |      3 . (1)   + 6 = 9
 2             |      3 . (2)   + 6 = 12
 3             |      3 . (3)   + 6 = 15
 4             |      3 . (4)   + 6 = 18
 5             |      3 . (5)   + 6 = 21
 6             |      3 . (6)   + 6 = 24

Percebam que para cada valor de x, foi encontrado um outro valor, para esse valor vamos dar o nome de y. 

Essas informações encontradas são chamadas de Pontos, ou ainda Coordenadas (Valores com x e y).

Na matemática é sabido que os números são infinitos. Dessa forma, os números que podem ser chutados para substituir em 'x' também são, assim, os resultados encontrados para 'y' também serão infinitos.

Para não haver a necessidade de tentar calcular todos os infinitos valores, é que existem os Gráficos:

Antes de mais nada, é desenhado um Plano Cartesiano. Que é composto por dois eixos, que são compostos por valores. É o que se segue.






A linha na horizontal é chamada Abscissa (Valores de 'x'). E a Vertical é chamada de Ordenada (Valores de 'y')

Para fazer o gráfico da equação utilizada anteriormente, associaremos os valores de x aos valores encontrados em y.

Começando por:

x = -2 ; y = 0 (Encontrando o local correspondente a esse ponto na abscissa e na ordenada, ou seja, 2 "risquinhos" em x, para a esquerda, porque é negativo e nenhum "risquinho" para cima ou para baixo, pois, a ordenada é zero)

x = -1 ; y = 3 (1 "risquinho" em x, novamente para a esquerda, pois, também é negativo e, agora, 3 risquinhos para cima na ordenada)

x = 0 ;  y =  6 (0 "risquinhos" em x, ou seja, não fazer nada. 6 "risquinhos" para cima)

Demarcando com um ponto cada uma dessas coordenadas encontradas, tem-se:





Então, basta unir esses pontos com um traço e tem-se o gráfico da função

É interessante notar que não é necessário que o desenho, da reta que conecta os pontos, comece no primeiro ponto e nem que termine no último, porém, é necessário que passar por todos eles.

Por fim, antes de finalizar, o gráfico também é infinito, ou seja, ele se prolongo tanto para cima quanto para baixo, assim como os números.



* Para se desenhar um gráfico do primeiro grau, só é necessário que saibamos de 2 valores, afinal "Por dois pontos passa uma reta". Portanto, se tem-se dois pontos, tem-se a reta.

 
Mais um exemplo, para fixar:

2x + 2 = 0

     x         |          Resultado
   -2          |      2 . (-2) + 2 = -2
   -1          |      2 . (-1) + 2 = 0
    0          |       2 . 0    + 2 = 2
    1          |       2 . 1    + 2 = 4
    2          |       2 . 2    + 2 = 6
    3          |       2 . 3    + 2 = 8

Após, pode-se desenhar:

Equações do Segundo Grau

O primeiro passo é exatamente igual ao do 1° Grau.

Nesse caso, o gráfico não será mais uma linha reta e sim uma parábola (o desenho está logo abaixo).

Uma parábola precisa estar voltada para baixo ou para cima. E a determinação de qual lado será se dá pelo termo 'a' da equação. Vamos usar um exemplo da postagem de equação do 2º grau:

x² - 5x + 6 = 0

Seguindo alguns passos:
1º - Determinar os termos da equação:

a = 1

b = -5

c = 6


2º Analisar o 'a'. 
Se o 'a' for maior que zero (portanto um valor positivo), então a concavidade é virada para cima, se for menor do que zero (negativo), então, será virada para baixo.
Escrevendo matematicamente tem-se:
a > 0 - Cima;
a < 0 - Baixo.

Ou ainda tem um macete. Se a for maior que zero, então é POSITIVO e uma pessoa positiva é feliz.

E se a for menor que zero, é NEGATIVO e uma pessoa negativa, está triste:

Assim, definimos que Parábola é esse U, da maneira convencional ou de cabeça para baixo.

3º Encontrar os zeros da função

(Esse passo, podemos pular, pois, já resolvemos anteriormente)

Os zeros são 2 e 3

4º Determinar o valor de c

c = 6

Vamos marcar no gráfico:

* Os zeros da Função: Um zero da função, tem esse nome porque o valor em y é zero (2 , 0) e (3 , 0)

* Um ponto (0, c) 

Não precisamos marcar, mas como a > 0 então nossa parábola está com sua concavidade voltada para cima.

Agora, desenha-se uma parábola passando por esses três pontos, com a concavidade volta para cima.


E então, basta completar o desenho. (Pois gráficos são infinitos, ou seja, devem continuar à direita).




Mais um gráfico, apenas para concluir:

x² + 3x - 5 = 0

No começo do passo a passo mencionado anteriormente, já é possível perceber que esse gráfico não é simples de se fazer. Ao calcular as raízes através do método de Bhaskara, o resultado encontrado não é inteiro).

Então, irei ensinar uma maneira de desenhar gráficos difíceis.
 
O método consiste em não desenhar tão fielmente. Já que esse gráfico é difícil, faremos um gráfico próximo do gráfico correto.

Sabemos que c = -5
E que a > 0 . Logo a concavidade da parábola é virada para cima.

Olhando agora para o 'b'. Sempre que o b for maior que zero, o gráfico passará pelo eixo Y enquanto estiver subindo. Dessa forma, podemos fazer um esboço:




Percebam que o gráfico tem uma forma, mas os valores não estão claros, ou seja, não é possível afirmar com certeza quanto valem os zeros da função.

* Exceto durante o ensino médio, os gráficos não precisam ser feitos com exatidão. Gráficos servem para observar o que acontece com o Y sempre que o X muda de valor, ou seja, se o Y aumenta ou diminui. 

Dessa forma, em vestibulares ou na vida profissional, só um esboço já é o suficiente. Caso seja necessário determinar os valores com exatidão é possível utilizar calculadoras que fazem esses gráficos (na vida profissional). 

E, como eu disse, no ensino médio é necessário ter exatidão nos valores, porém, via de regra, os exercícios não serão tão difíceis, afinal, precisam ser feitos a mão.

Prova Real

         Imagine se na seguinte situação. Você está no vestibular, fazendo a prova de matemática. Você termina suas contas e encontra um resultado final, como saber se sua resposta está certa, sendo que você não pode usar calculadora?

Nesses casos usamos a Prova real (P.R.)

Esse método consiste em realizar a operação inversa da operação que você fez, utilizando os resultados encontrados, para determinar os valores originais da operação.

Exemplo: Quanto é 10 + 5 ?
- Podemos afirmar que é 15.
Mas para ter certeza, faremos a prova real.

Vamos reescrever a operação realizada

10 + 5 = 15

A operação é uma soma, então, sua inversa é a subtração. Dessa forma, é feito tudo de maneira inversa - Pegando o resultado final e fazendo a operação inversa com o valor, é possível verificar se é encontrado o resultado inicial.

P.R

15 - 5 = 10 ?

Se for, e nesse caso é, então está provado que o resultado encontrado está certo.

Caso o valor encontrado fosse errado, 20, por exemplo, ao fazer a prova real:

20 - 5 = 15 . Ou seja, um valor diferente do valor original, que era 10, podemos determinar que a resultado encontrado está errado!

Outro exemplo:

15 x 30 ?  Já sabemos como fazer uma multiplicação, então vamos ao resultado final.

15 x 30 = 450

A prova real, consiste em fazer o contrário, logo o inverso da multiplicação é a divisão.

P.R

450/30 = 15?

Como é, pode-se afirmar que o resultado encontrado está certa.


* Está postagem foi extremamente simples, assim como o conteúdo dela. Mas o que quero frisar é a ideia. A melhor maneira de verificar se sua conta está certa é a Prova Real, para qualquer conta que estiver fazendo. Existem diversas situações onde ela é útil, basta que você saiba usá-la e saiba quais são as operações inversas de cada operação.

Ordem de Preferencias - Parenteses, Chaves e Colchetes

Logo de cara, se tivéssemos a seguinte equação para ser resolvida:

 2³ + 2 - 3 / 3 * 4

Qual seria a resposta?

Se pensássemos em resolver da esquerda para direita, na ordem que os números aparecem, o resultado seria 9,332, entretanto o resultado correto é 6.

Sabemos então que existe uma ordem e que não é seguir a ordem que os números aparecem. Então, que ordem é essa?

Essa ordem é universal, calculadoras, programas de computador usam essa ordem, e, portanto, para precisamos obedece-la também.

A preferência em ordem decrescente é:

1- Fatorial
2- Funções
3- Exponenciação
4- Multiplicação
5- Soma

Vamos refazer a conta lá de cima, 2³ + 2 - 3 / 3 * 4

8 + 2 - 1 * 4
8 + 2 - 4
6

Mais um exemplo para frisar

3! + 3² / 2 * 3
6 + 9/2 * 3
6 + 4,5*3
6 + 13,5
19,5

Como as ordens de preferências são fixas, caso eu queira que uma operação seja feita em uma ordem diferente, preciso especificar essa ordem. 

Para isso usa-se Parênteses, chaves ou colchetes. Vamos vendo e aprendendo:

                                               3 x 2 + 2 = 8

A operação acima, segue corretamente a ordem de preferência, isso quer dizer que primeiro devemos multiplicar e, então, realizar a soma. Caso queria alterar essa ordem, fazer a soma acontecer antes da multiplicação, basta colocar um parênteses.

3 x (2 + 2)
3 x (4)
= 12

Percebam que o resultado mudou, exatamente porque mudamos a ordem em que as operações foram feitas. Se ao invés de parentes fossem chaves ou colchetes o resultado final seria o mesmo.  

Se o resultado não muda, porém, por que existem chaves e colchetes, além dos parênteses?

Servem apenas para auxiliar na resolução de exercícios com vários parênteses, observe abaixo.
                                     (((1 + 3) * 2) - 10) * 4


Só de pensar, muita gente já desistiu dessa conta. E ainda para os que quiserem se aventurar, a chance de erro é grande (É bem verdade que nesse caso não é tão grande assim, afinal, a conta poderia ser bem pior. Mesmo assim, o erro pode acontecer). 

Com algumas alterações, temos:
                                     [{(1 + 3) * 2} - 10] * 4

Ficou um pouco mais fácil, basta que você resolva o que estiver dentro de cada um. Primeiro, comece dos parênteses e vai indo para fora.

[{(4) * 2}- 10] * 4
[{4 * 2} -10] * 4
[{8} - 10] * 4
[8 - 10] * 4
-2 * 4
= -8
Notem, sempre que dentro de uma chave fica somente um número, então eu não preciso mais dessa chave, posso deixar somente o número (O mesmo vale para os parênteses e colchetes).

Nomenclatura:
( ) Parênteses
[ ] Colchete
{ }Chave

Jogo de Sinal

Durante toda nossa vida escolar, já erramos muitas vezes por esquecer de usar o sinal correto nas respostas. Seja por desatenção, ou por erro de cálculo. Mas, em algumas vezes, o erro se dá pois um valor com um determinado sinal, simplesmente muda, ao encontrar outro número com um sinal diferente ou igual. 

Não entendeu? Acompanhe:

Ao multiplicar -3 x 4 o resultado é simples, 12. Aqui, entretanto, é necessário usar a regra de sinal, por mais que a operação seja simples, no caso do exemplo, o resultado esta errado. 

O correto seria  -3 x 4 = - 12

Antes de começarmos as explicações, caso tivesse um sinal de negativo também no número 4, o resultado seria diferente. 

 

- 3  x - 4 = 12

Muita gente poderia questionar, porque multiplicamos dois números negativos e o resultado foi um positivo?

Estamos acostumados a fazer Somas e Subtrações e sabemos que sempre que subtraímos um número negativo de outro número negativo, o resultado é negativo. Mas em uma multiplicação isso não existe. Por isso que existe a confusão.

Podemos adotar aqui uma regra.  

Em multiplicação e Divisão temos de fazer o jogo de sinal, sempre!

Somente existem dois casos no jogo de sinais.

* Para sinais iguais  

Multiplicar\Dividir um número negativo com outro negativo.

Multiplicar\Dividir um número positivo com outro positivo

O resultado sempre será positivo ( + )

-3 x -2 = 6

-10 x -5 = 50

-1 x -1 = 1

32 / 4 = 8

9 /1 = 9

180 / 6 = 30

* Para sinais diferentes

Multiplicar\Dividir um número negativo com um número positivo

Multiplicar\Dividir um número positivo com um número negativo

O resultado sempre será negativo ( - )

-3 x 2 = 6
-15 x 1 = -15
-33 x 2 = -66

20 / -10 = -2
99 / -33 = -3
1 / -1 = -1

Existem vários recursos para facilitar a compreensão e auxiliar a decorar (se necessário, mas não recomendado) os sinais corretos nas operações. 

Todas as formas levam ao mesmo caminho, então não é necessário aprender todas, uma só já basta, ficando a critério, escolher a mais fácil.

Existem frases para se decorar:

O inimigo do meu inimigo é meu amigo / O amigo do meu amigo é meu amigo

O amigo do meu inimigo é meu inimigo/  O inimigo do meu amigo é meu inimigo

Utilizando como metáfora, "inimigo" ( - ) e "amigo"  ( + )

O inimigo do meu inimigo é meu amigo  /  O amigo do meu amigo é meu amigo

       ( - )             x       ( - )         =       ( + )          ( + )        x        ( + )        =  ( + )

O amigo do meu inimigo é meu inimigo/  O inimigo do meu amigo é meu inimigo

      ( + )       x           ( - )          =         ( - )           ( - )          x        ( + )  =     ( - )

* Lembrando que é valido tanto para multiplicação, quanto para divisão.

Ou ainda

mais com mais dá Mais / Menos com Menos dá mais

mais com menos dá Menos/ Menos com Mais da Menos

Ou desenhado

Ou
Sinais iguais ( + )

Sinais Diferentes ( - )

Soma e Subtração

        Um assunto que parece fácil e realmente é. Mas, nem só por isso que não merece um estudo mais detalhado.

Soma

Somar é adicionar um valor à outro valor. Se somarmos 1 ao 5 , teremos como resultado 6. 

Isso porque  no número 5  foi adicionado +1. O inverso também pode ser dito, adicionamos +5 no 1.

Tal característica é conhecida como propriedade comutativa. Ou seja, aquela frase que todos já ouvimos alguma vez na vida: 'A ordem dos fatores não altera o resultado' .

Matematicamente falando:  1 + 5 é igual a 5 + 1.

Vamos complicar. E para números maiores?

Não existe um mecanismo para ajudar na soma de números de um dígito. É comum ver pessoas usarem os dedos da mãos ou até mesmo decorar o resultado de algumas contas. Mas para números de mais de dois dígitos já temos vários mecanismos.

Quanto seria o valor de 25 + 32?

Vamos primeiro copiar os números um em cima do outro, com um símbolo de soma ao lado.

Primeiramente vamos entender. Como disse antes, tanto faz a ordem dos números, o resultado será igual. Ou seja, poderia ser posto ao contrário.

Também é vital colocar os números exatamente um embaixo do outro, perceba que o 5 (do número 25) está exatamente em cima do 2, assim como o 2 está exatamente em cima do 3.

É importante que seja assim, pois, esses espaços tem nome. 

O primeiro espaço, à direita é chamado 'Unidade' (u) e o a esquerda é chamado de 'Dezena' (d).

Assim, o número '25' pode ser dito como um número de 5 unidades e 2 dezenas - assim como, 3 dezenas e 2 unidades no caso do '32'.

Agora, somaremos individualmente, unidade com unidade, dezena com dezena.

Temos que nas unidades: 5 + 2 é 7; E nas dezenas 2 + 3 é 5, então nosso resultado é '57'

Prosseguindo, não existem apenas números de 2 dígitos, por isso, existem mais espaços para números no nosso mecanismo de soma. 

Depois da dezena temos ainda 'Centena', 'Unidade de milhar ', 'Dezena de milhar', 'Centena de milhar' e assim sucessivamente. Seguindo a ordem descrita na linha acima, da esquerda para a direita.

Quando os número tiverem diferentes quantidades de dígitos, o que faremos?

O processo é similar. 

- Exemplo, vamos somar 429 + 67.

Primeiro, organizamos nosso mecanismo vendo a composição dos nossos números.

429 : 4 centenas, 2 dezenas e 9 unidades
67   : 0 centenas, 6 dezenas e 7 unidades

Depois colocamos na ordem de acordo com nosso mecanismo.

* Percebam que o número 67, deveria ser escrito como 067, porém, um zero posicionado a esquerda de qualquer número não altera o número. Dessa forma, ele pode, ou não, aparecer próximo do número, ficando a critério de quem estiver fazendo a conta. 

Continuando, somaremos individualmente. 

Na primeira soma, entretanto, encontramos uma situação diferente. Ao somarmos 9  + 7 o resultado é 16 e, sabemos que, dezesseis possui uma Dezena e 6 Unidades, portanto não podemos colocar '16' no espaço destinado às unidades, afinal, só podemos colocar unidades na casa das unidades. 

Por isso colocaremos somente o 6. Assim, precisamos dar um jeito de colocar o '1' das Dezenas na casa das Dezenas:

Agora, seguimos em frente com a soma. 2 + 6 e agora +1, tendo como resultado o 9.

Na casa da centena. só temos o '4' então o resultado é ele próprio - Sabemos que na verdade ali tem o número zero e, ao somar, 0 + 4, resulta apenas o 4. Isso, pois, zero é um número neutro e falamos mais sobre números neutros aqui basta clicar no link, caso tenha alguma dúvida sobre o assunto. 

O resultado final, portanto, é:

Esse foi um bom exemplo de porque deve-se colocar os números no seu lugar correto, afinal, caso estivessem em posição diferente, o resultado final seria diferente, e portanto, errado.

Vamos deixar ainda mais difícil. E se nossos números tivesse vírgula?

278,98 + 211,9 

Na verdade, nada muda. Apenas temos alguns números após a vírgula. Ainda precisamos obedecer a ordem das unidades antes da vírgula e o resto se resolve sozinho. Observem:

278 : 2 centenas, 7 dezenas e 8 unidades

211 : 2 centenas, 1 dezena  e 1  unidade

Vamos colocar no nosso mecanismo, sem considerar, em um primeiro momento, os números após a vírgula:

E então, basta colocar as duas vírgulas e os números após elas.

Percebam que ficou um espaço em branco no último espaço à direita, após a vírgula, mas, não tem problema. 

Basta somar, lembrando que se o resultado de uma soma ultrapassa o 10, temos que colocar o número da dezena para o outro espaço.

 E temos o resultado final, 490,88.

Subtração 

É basicamente igual à soma, só que agora o ordem dos fatores altera o resultado. Fazer 10 - 4 (É igual a 6)  é diferente de 4 - 10 (É igual a -6)

O mecanismo para soma é utilizado aqui também. A única diferença é que, quando passava de 10, precisávamos jogar o valor da dezena para o espaço da dezena, aqui, nunca encontraremos uma situação dessa, o que encontraremos é subtrair um número grande de um número pequeno. Vejamos com números para ficar mais simples:

Logo no espaço das unidades já vemos nosso problema. Não podemos subtrair '8' do número '5', afinal, ele é maior que o próprio número. Então nesse caso, vamos 'emprestar' uma dezena, assim, não teremos mais um 5, e sim um '15'. Acompanhe:

  

Sempre que 'emprestamos' uma dezena, ela deve vir obrigatoriamente do número a esquerda. Nesse caso, veio do 7 e, como ele perdeu essa dezena, ele se torna um 6. Ao mesmo tempo, o 5 passa a ser um '15'. Agora, podemos agora subtrair 8 de 15 .

Ficaria: 

Nas unidades  15 - 8 = 7

Nas dezenas: 6 - 3 = 3

E nas centenas: 3 - 2 = 1

Sempre que o primeiro número for menor que o segundo, o resultado da subtração entre eles será negativo. 

Essa é a única mudança, então eu recomendo usar um truque: inverter a ordem dos números, deixando sempre o menor subtrair o maior e depois basta colocar um sinal de negativo.

Por exemplo: Como faríamos o contrário da operação acima, 238 - 375?

Analisando inicialmente, sabemos que dará um valor negativo, já que 238 é menor que 375. Então, vamos inverter, fazendo 375 - 238 e depois nos lembramos de colocar um sinal de negativo.

Vamos nos aprofundar um pouco mais nas somas ou subtrações envolvendo o zero?

Clique aqui e continue seu estudo!

Multiplicação - Divisão

Multiplicação

A operação de multiplicar um número por outro consiste, na verdade, a uma sequência de somas do primeiro número.

Então, simplificadamente, multiplicação é uma SOMA.

Multiplicar 2 x 3 . Na verdade é somar +3 duas vezes. Assim : +3+3 = 6.

Multiplicação também uma operação comutativa, ou seja,  A ordem dos fatores não altera o resultado .  2 x 3 = 3 x 2.

Pois, assim :  +2+2+2 = 6 .

Se parecer estranho +3 +3, imaginem que tem um '0' no começo de cada operação, assim 

0+3+3

Embora eu tenha dito que o resultado da operação é igual nos dois casos apresentados acima (justificando a comutatividade deles), não podemos afirmar que as operações são iguais, na verdade 

 2 x 3 é diferente de 3 x 2  .

A resposta para essa situação curiosa da multiplicação, é explicado usando a soma. Foi escrito acima que 2 x 3 = +3 + 3  (6), enquanto que 3 x 2 = +2 +2 +2   (6) . 

Ambos os resultados deram '6', mas as contas são diferentes. Acompanhe:
2 x 3: Vamos começar pela leitura da operação  "duas vezes três"

Isso significa que vamos pegar duas vezes o número '3'.
Já 3 x 2: "três vezes dois"

Isso significa que vamos pegar três vezes o número '2'  

Para efeitos de cálculo de maneira geral, em que somente a resposta importa, tanto faz o método, mas agora já sabemos qual é a maneira certa de fazer.


Agora, se multiplicar é somar um número a ele mesmo várias vezes, podemos sempre fazer isso manualmente, somando. 

3 x 5 = +5 +5 +5  = 15
4 x 6 = +6 +6 +6 +6 = 24
2 x 9 = +9 +9 = 18
1 x 7 = 7    = 7

Mas e quando encontramos uma operação que é extremamente grande.
Exemplo: 35 x 19 

Poderíamos sim somar o 19 com o 19 trinta e cinco vezes, mas isso daria um trabalho imenso, imaginem:

+19 +19 +19 +19 +19 +19 +19 +19 +19 +19 +19 +19 +19 +19 +19 +19 +19 +19 +19 +19 +19 +19 +19 +19 +19 +19 +19 +19 +19 +19 +19 +19 +19 +19 +19

Além de dar muito trabalho ter que escrever essa conta, isso não ajuda a resolver o problema, eu ainda teria que somar manualmente todas as vezes, correndo um risco imenso de errar.

Para multiplicações desse tamanho, ou ainda maiores, usaremos um mecanismo de multiplicação.

Vamos escrever os números um em cima do outro, com um 'x' (simbolizando multiplicação) :

Sempre começamos pelo número que está em baixo. Nele, vamos por partes da direita para a esquerda.

Então, primeiro o 9:

Multiplicaremos esse valor pelo número que está em cima, também começando da direita e indo para a esquerda, que no caso é o '5', assim:

9 x 5 = 45  . Da mesma maneira que aprendemos na soma, vamos colocar a unidade (5) em baixo da barra e vamos jogar a dezena (4) para a casa da dezena:


Agora que multiplicamos o 9 por 5, vamos seguir a ordem e multiplicar pelo 3, e após multiplicar vamos somar com o número '4' vermelho que está em cima do 3.

Fica:
9 x 3 = 27  ->  27 + 4 = 31 

Agora como não há mais nenhum número a esquerda do nosso 35, podemos simplesmente copiar o resultado em baixo da barra.

Pronto, fizemos as operações com o '9' . Resta fazer com o '1'. Antes, vamos colocar um sinal de "+" logo abaixo do nosso primeiro número vermelho embaixo da barra:

Vamos multiplicar então, o número 1 por 5 e depois por 3
Assim 1 x 5 = 5

Percebam que não coloquei o número embaixo do primeiro número em vermelho, coloquei depois do "+" e é, exatamente, assim que deve ser feito.

Multiplicaremos 1 x 3 = 3 e colocaremos no mecanismo

Agora, encontramos uma soma entre as barras, vamos então somar.

Percebam que não tem nada embaixo do 5 (do número 315), por isso, ele apenas foi repetido em baixo.

Por quê foi necessário colocar aquele "+" na segunda linha? 

Porque nesse mecanismo fazemos a multiplicação por partes, sendo que multiplicamos  primeiro a unidade e depois somamos com a multiplicação da dezena.

Ou seja, no exemplo, multiplicamos   9 x 35 e depois depois, multiplicamos 1 x 35 porém devemos lembrar que esse '1' é uma dezena, portanto ele não é um '1' e sim um '10'  . Na verdade nossa conta foi feita assim:

9   x 35 = 315
10 x 35 = 350  +
             ----------
             = 665

Então, aquele '+' do mecanismo, na verdade representa o número zero, que foi ocultado.

Veja outros exemplos:



 


Como multiplicar quando um número termina em zero?

Não muda muita coisa, apenas facilita nossa conta, veja:

1º Vamos contar os '0' dos números.
Nesse caso, temos dois '0' (um do número 30 e outro do 10). Assim sendo, vamos colocar 2 zeros em baixo da barra e depois vamos ignorar os '0's que estão em cima da barra:

Agora ficou muito fácil, multiplicaremos 1 x 3 e colocaremos a frente dos zeros:

Pronto, definimos, então, que sempre que tivermos zeros, basta colocá-los embaixo da barra e fazer a conta sem eles.



Divisão

Podemos pensar em dividir como uma separação de pedaços iguais.

Por exemplo, ao dividirmos uma maçã com duas pessoas, cortamos ela ao meio, obtendo assim duas partes iguais.

Nesse exemplo dizemos matematicamente que 1 maçã dividida por 2 pessoas, é igual a meia maçã para cada pessoa.

Esse é o princípio básico da divisão, dividir algo em outras partes iguais.

O símbolo da divisão é a barra ' / ' , ou os dois pontos '  :  ' , ainda pode ser representado pela barra das frações.

Usamos divisão desde sempre em nossas vidas, por isso muitas são fáceis de fazer. Dividir números por 2 ou por 3 são quase automáticas na nossa cabeça. Mas, existe uma maneira de fazer essas contas manualmente, essas e todos os outros casos mais difíceis. Encontramos o resultado da divisão usando outro mecanismo.

Exemplo: 45 / 5

O mecanismo consiste em colocar o número que queremos dividir a esquerda e o número pelo qual dividiremos a direita.

Agora, nos lembramos da tabuada: Qual número, de 1 a 9, que multiplicado por 5 é 45?

Pela tabuada, sabemos que: 5 x 9 = 45

Achamos nosso valor, então vamos colocar o 9 em baixo da barra

Multiplicaremos novamente, 5 x 9 e o valor encontrado colocaremos em baixo do 45 com um sinal de negativo (-):

Então, somaremos os dois valores a esquerda. (detalhe: Vamos somar os números da esquerda, mas lembrando que como o segundo '45' tem um sinal negativo, ao somar +45 com -45, encontraremos 0 como resposta, isso porque somar números com sinal oposto, é a mesma coisa que subtraí-los.

 Antes de prosseguirmos, vamos para a nomenclatura dos termos nesses mecanismo:

Esses nomes nos ajudam a criar uma equação para achar a Prova Real (Leia a postagem, clicando no link).

A equação é a seguinte:

Resultado x Divisor + Resto = Dividendo.

Vamos testar:

       9          x       5     +    0     = ?
                                                                      = 45

*Não se esqueçam, da prioridade das operação, primeiro multiplicamos o Divisor pelo resultado, e somente depois somamos com o resto (Se ainda não viu sobre o assunto, clique aqui).
Agora que sabemos os nomes, continuaremos.

 
E quando o dividendo for maior que nove vezes o divisor?

Para entender melhor sobre o assunto, veremos no exemplo.

Nesse caso faremos uma divisão por partes.

Exemplo: 66 : 3

Se pensarmos na tabuada do 3 temos:

3 x 1 = 3
3 x 2 = 6
3 x 3 = 9
3 x 4 = 12
3 x 5 = 15
3 x 6 = 18
3 x 7 = 21
3 x 8 = 24
3 x 9 = 27

Nenhum valor se aproxima de 66.

Nesses casos, separamos o dividendo, pegando apenas um número. Ao invés de 66, vamos pegar somente o termo da esquerda, nesse caso, o 6.

Voltamos ao passo anterior: Existe um valor que multiplicado por 3 é igual a 6?
- Sim, vimos na tabuada que 3 x 2 = 6


Então, vamos colocar 2 no resultado e prosseguir da maneira que vimos anteriormente:

Vamos somar 6 - 6, cujo resultado é 0. Colocaremos, então, esse '0' em baixo da barra

Não podemos dividir o zero encontrado com o 3 do divisor. Então, terminamos essa parte. Partiremos agora para o número que ainda resta.

No começo dessa divisão, deixamos uma parte do número de lado, agora é a hora voltar para essa parte e continuar a conta:

Temos novamente 6 dividido por 3, então já sabemos que número colocar no resultado, o mesmo '2' tal como antes.

Faremos a multiplicação de 2 x 3 = 6 e colocaremos esse 6 encontrado em baixo do 06 que temos, assim:

Agora, somamos o 06 - 6. E encontraremos 00 de resto, ou seja, nossa conta terminou.

Também poderíamos, ao invés de usar esse mecanismo, fazer a tabuada do 3 até encontrarmos o 66. Descobrimos através do mecanismo que 3 x 22 = 66, então, eventualmente acharíamos esse valor se continuássemos a tabuada.

O problema é que fazer a tabuada pode ser algo muito cansativo, especialmente se fosse um número extremamente grande, como, por exemplo, se fosse 300 / 3. Poderíamos fazer a tabuada do 3 até encontrar o valor 300, que sabemos que é 3 x 100. 

Isso quer dizer que nossa tabuada teria 100 linhas. Extremamente demorado, ainda mais porque não necessário.

E se o resto da divisão não for zero?

Nesse caso, apenas algumas coisas vão mudar, veremos um exemplo já no mecanismo:

Vou fazer direto, pois, é igual.

Encontramos 1 de resto e não podemos mais dividir 1 por 2, porque 1 é menor que 2 ( ou matematicamente falando, 1 < 2). 

Esse é um critério de parada do divisão, podemos fazer a divisão até que seja encontrado zero no resto ou que o resto seja menor do que o divisor.

Nesse caso, podemos continuar de duas maneiras. A primeira é não continuar, paramos aqui mesmo dizendo que essa divisão não é exata, pois realmente ela não é. 

Ou podemos continuar dividindo, mas então, descobriremos um número fracionado.

Vamos fazer o fracionado.

Para isso, colocaremos uma vírgula ( , ) no resultado e colocaremos um zero (0) a direita do resto, assim:

Percebam que agora, podemos continuar nossa divisão, afinal 10 é maior que 2. Então, continuamos.

Encontramos um número com vírgula como resposta e o resto zero.



33/2 = 16,5
 
33/2 = 16 + 1/2 (Deixamos o 1/2 porque não pudemos 1 dividir por 2, ou somente resto 1)

Pela equação da prova real:

16,5 x 2 + 0 = 33
16    x 2 + 1 = 33

Mas se não faz diferença a representação da resposta, porque existe duas formas diferentes?

Realmente na matemática não faz diferença, o grande detalhe está quando trazemos para a vida real.

Exemplo: Temos 33 pessoas em uma atividade e, queremos dividi-las em duplas (Ou seja, dividir por 2), não faz sentido dizer que vamos ter dezesseis grupos e meio. Afinal teríamos uma meia dupla, ou grupos com meia pessoa nele. 

Não tem como dividir uma pessoa ao meio, assim como não podemos dividir carros, animais, casas ... Então, nesses casos, usamos as respostas inteiras, terão 16 grupos e 1 pessoa sobrando, em outras palavras, ficando como resto.

Agora que sabemos que alguns números em divisões são fracionados, então como ficaria uma divisão por um número fracionado?

Vamos testar:

14 / 0,5

Agora precisaremos pensar, com muita atenção. Vamos fazer a tabuada de um número fracionado, podemos fazer mentalmente, ou escrito, depende da agilidade de quem estiver fazendo as contas:

0,5 x 1 =  0,5
0,5 x 2 =  1
0,5 x 3 =  1,5
0,5 x 4 =  2
0,5 x 5 =  2,5
0,5 x 6 =  3
0,5 x 7 =  3,5
0,5 x 8 =  4
0,5 x 9 =  4,5

*Não precisamos decorar todas as tabuadas que existem, até porque elas são infinitas, basta que façamos as tabuadas que precisamos na hora que precisarmos delas. Apenas pegue o número que desejado e multiplique por 1 até 9 e pronto, está feita.

Não encontramos um número que multiplicado por 0,5 é igual a 14. Então, teremos de fazer por partes. Sempre pegamos o primeiro elemento da esquerda do dividendo. Nesse caso o número 1. Sabemos pela tabuada que  0,5 x 2 = 1. Então, colocaremos 2 no resultado

Prosseguimos:

Agora que encontramos um zero, vamos para a outra parte:              

Percebam uma coisa interessante, ao dividir um número por uma fração, o resultado final é MAIOR que o número inicial. 

Veja pelo exemplo, 14/0,5 = 28. Ou seja, dividir por fração, resulta em um resultado maior que o número inicial, e essa mesma inversão acontece com multiplicação, multiplicar um número por fração, resulta em um número menor que o inicial.

Como faremos uma divisão com um dividendo terminando em zero?

Exemplo: 40/4

Inicialmente faremos igual qualquer outra vez. Pegaremos só o '4', do número 40, e faremos por parte:

Percebam que, encontramos um zero, ou seja terminamos com essa parte do número 40, mas a outra parte que está sobrando é também um 0.

Deveríamos continuar a conta, mas não podemos, afinal 00 é menor que 4. Então, nesse caso, coloca-se um zero no resultado e finaliza a divisão.

40 /4 = 10




Para finalizar, e se tivéssemos um número com um zero no meio?
Exemplo: 202 / 2

Faremos a divisão inicialmente normal, dividiremos o 202, agora em três partes, e começaremos à esquerda:

E então, encontramos um zero. Normalmente, iríamos para a próxima parte, ou seja, trazer mais um número para a conta, mas o próximo número é um zero. Basta, apenas, repetir igual antes, vamos colocar um zero no resto e um zero no resultado

Agora, continuamos, vamos para a próxima parte do número:

E seguimos até o fim da divisão:

Essa parte de divisões e multiplicações encerra aqui. Entretanto outras situações como dividir e multiplicar por 0 ou por 1, ou ainda o por que dividir por fração aumenta o resultado são abordadas em outra postagem mais detalhada. Clique aqui e depois aqui para continuar seu estudo.