1 e 0 - Números neutros, absurdos e indeterminações

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Existe na matemática números conhecidos como 'Neutros'. Como o nome sugere, são números que não fazem diferença em uma operação matemática.

Vamos começar pela soma:

Na soma o elemento neutro é o 0 (Zero).

Percebam o que acontece se somar 0 a algum número qualquer

3  + 0  = 3
4  + 0  = 4
15 + 0 = 15
3.000 + 0 = 3.000
0,5 + 0 = 0,5

Resumindo, adicionar zero a um número, resulta sempre no número original. A mesma regra é válida para subtração.

3 - 0 = 3


Multiplicação
Na multiplicação, o elemento neutro é o 1. Vejamos o que acontece ao multiplicar um número qualquer por 1:

31 x 1 = 31
15 x 1 = 15
10 x 1 = 10
1 x 1 = 1

A mesma regra também é válida para a divisão.
13/1 = 13
5/1 = 5

E para exponenciação.
15¹ = 15
2¹ = 2


Agora, uma pergunta pode surgir, um elemento neutro de uma operação também é neutro em outra? Não, muito pelo contrário.

Vamos usar o elemento neutro da soma, na multiplicação e divisão:

10 x 0 = 0
11 x 0 = 0
5 x 0 = 0
0 x 0 = 0

Nota-se um resultado bem diferente. Podendo então definir uma regra: Multiplicar um número por zero, resulta em zero como resposta. 

Mas e quanto à divisão?

4/0 = ??

Eu poderia dizer que o resultado é 0? 

Não.

Não existe como realizar uma divisão de qualquer número por zero, isso é conhecido como Absurdo Matemático.

Podemos facilmente provar essa afirmação utilizando a Prova Real.

Para comprovarmos, primeiro partiremos do princípio de que a divisão de um número por zero é possível e então veremos o resultado. 
Com esse objetivo, vamos supor que 4/0 seja 2.

Sendo assim, usando o conceito da prova real, 2 x 0 = 4. 
Sabemos, porém, que a operação acima não é verdadeira, afinal, multiplicar um número qualquer por zero, sempre tem zero como resultado. 

Assim sendo, não existe resposta que seja matematicamente válida para essa multiplicação, por isso, essa operação é chamada de absurdo, pois ela é inválida.  

Mais alguns exemplos:

4/ 0 = 0     ->  0 x 0 = 4 ?
4/ 0 = 1      ->  1 x 0 = 4 ?


Mas e se eu fizesse 0/0?



Então, encontraríamos uma Indeterminação Matemática

Vejamos.
0/0 = ? 

Como no exemplo anterior, vamos supor essa operação exista e que o resultado de 0/0 seja 4. Verificaremos a veracidade da afirmação através da prova real:

4 x 0 = 0

Deu certo! A prova real comprovou.

Mas e se eu por acaso não tivesse testado o 4 e sim outro número na prova real:

Supondo ser 1:
0/0 = 1     

E na prova real:
 1 x 0 = 0

Deu certo novamente?

Esse é o significado de uma indeterminação matemática, que seria uma operação simples que possui infinitas respostas corretas, sendo impossível determinar quantas e quais são.



* Para os leitores que irão fazer algum curso de nível superior na área de matemática, haverá estudos mais a fundo nesses casos de 'divisão por zero'. Mas para os que se preocupam apenas com vestibular, este é o nível máximo que pode ser cobrado de algum aluno, pois é esse o conteúdo do ensino médio.