Frações, MMC , Operações, Simplificação

Índice
1 - Frações
2 - A pronúncia
3 - Numerador e denominador
4 - Operações entre frações
  4.1 - Soma
  4.2 - MMC
  4.3 -Multiplicação de Frações
  4.4 - Divisão de Frações
  4.5 -Multiplicar/Dividir frações por números
5 - Simplificação em fração
6 - Numero < - > Fração

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1 - Frações se encaixam na lista de medos e dificuldades de quase todos os que dizem odiar a matemática. Vamos então tentar entender como ela funciona e ver se essa dificuldade desaparece.

Frações são números que não são inteiros, fácil de ser compreendido só pelo nome 'fração', que seria uma parte de algo ou como conhecemos mais usualmente, um 'número quebrado'.


Existem algumas maneiras de se representar uma fração, a mais conhecida é mostrando o numerador e denominador:
 
Existe outra maneira, mais fácil de se representar, pois escreve na mesma linha:  3/5 .
Funciona do mesmo jeito que a maneira descrita acima. O primeiro número é o numerador e o segundo, denominador:

2 - A pronúncia correta deste número é ' três quintos' .Funciona da mesma maneira para todos os números cujos denominadores são menores que dez. Ex:

1/5   = Um quinto
1/10 = Um décimo
3/4   = Três quartos

Para maiores de dez, usamos a terminação 'avos', lembrando que se o numerador for 1, então nesse caso utiliza-se a forma no singular 'avo '. Ex:

1/15 = Um quinze avo
2/17 = Dois dezessete avos
4/21 = Quatro vinte um avos

Esse nomenclatura não é única, temos outras. Exemplo 3/5, sendo 'três sobre cinco' , 'três dividido por cinco'.

3 - Mas o que significa esse número? E para que serve numerador e denominador?

Uma fração é composta por três partes, a primeira, numerador é o número que sofrerá a ação, a segunda é a barra que fica entre os números que significa divisão e por fim  o denominador é por que valor o numerador será dividido.

Exemplo: 3/5 significa que o 3 será divido por 5.

Criando assim a terceira forma de representar uma fração, que é pelo seu resultado
3 / 5  é igual a 0,6


4 - Operações entre frações. Como sabemos que frações são números, então podemos usá-los como qualquer outro número para realizarmos operações matemáticas. Entretanto essas operações tem regras diferentes. Que veremos agora.

4.1 - Soma: A soma entre fatores só é possível quando as duas frações tiverem o mesmo denominador 

Então nesse caso, somamos o numerador e mantemos o denominador.
Ex:
 , ou  4/8 + 3/8 = 7/8

E quando o denominador for diferente, neste caso teremos de usar a regra do MMC (Mínimo múltiplo comum).
4.2 - Vou fazer um exemplo e explicar ao mesmo tempo.

 Nessa conta temos um número onde os denominadores são diferentes

Para acharmos o mínimo múltiplo comum, faremos uma tabela com todos os denominadores, no caso com o 5 e o 6.
 Agora no lado direito daquela barra vamos começar a jogar valores, pode ser qualquer valor, mas sempre começando dos menores valores inteiros, exceto o 1 (pode ser 2 , 3 , 4 ...). Quando esse número for colocado à direita, vamos dividir individualmente os valores que estão a esquerda da barra. Deve ser apenas divisões inteiras, valores quebrados não podem existir aqui.
  Veja que eu já comecei com 2. Você deve estar se pensando 'mas como foi dito em cima, não pode ter valor quebrado, então porque escolhi o 2,  se o 5 não dá para dividir por 2?' . A resposta é, porque o 6 dá para dividir por 2, então eu faço a divisão no 6 e ignoro o 5.
 Viram, o 6 foi dividido pelo 2 e agora ficou um 3 enquanto o 5 ficou intocado, agora eu não posso mais colocar o 2 a direita, vamos para o próximo número. Vamos colocar o 3. Que também não divide por cinco, ou seja, mais uma vez o 5 vai permanecer ali.
Agora percebam que um dos números é o 1, isso significa que ali acabou, agora só resta o outro número, temos que fazê-lo virar 1 também. Eu poderia colocar um 4 a direita do barra, mas se eu colocasse não mudaria nada, 5 não divide por 4 e o 1 não pode ser alterado, ou seja, não posso colocar 4. Vamos para o próximo número, que seria o 5, e agora sim, 5 divide por 5 então prosseguiremos.
    Agora que eu encontrei os dois valores '1', vamos multiplicar os todos os valores que estão a direita da barra ( no nosso caso 2 x 3 x 5 , e o resultado é 30) .
Esse é o mínimo múltiplo comum entre os dois denominadores. Mas e agora o que faremos com esses valor ?

Voltamos às frações originais:
Colocaremos uma igualdade e a direita da igualdade colocaremos uma fração cujo denominador é o MMC que encontramos, agora para o numerador, pegaremos o valor '30' e dividiremos pelo denominador da primeira fração ( 5 ) e o resultado multiplicaremos pelo numerador dessa mesma fração ( 3 ) :    30 / 5 é igual a 6. E agora 6 x 3 é 18.

Faremos a mesma coisa com a outra fração, divide 30 por 6 ( que é igual a 5) e depois multiplicaremos por 2 ( o resultado é 10)
 Pronto, agora é só somar o numerador. e o resultado final é 

E a operação do MMC é um pouco extensa, mas com o tempo você se acostuma e ela fica bem mais prática.  Exemplos:






4 . 3 -Multiplicação de Frações: Multiplicação é bem mais simples que soma, não precisa que nem o denominador, nem o numerador sejam iguais. Basta apenas multiplicar numerador com numerador  e denominador com denominador.





No primeiro, 2 x 1 = 2  e no denominador 5 x 3 = 15
No segundo, 3 x 5 = 15 e no denominador 4 x 3 = 12
No terceiro,  7 x 8 = 56 e no denominador 9 x 3 = 27

4.4 - Divisão de Frações: É isso mesmo, meus amigos. Se fração já é uma divisão, é possível dividir uma divisão por outra? SIM. Felizmente para muitos, esse processo quase igual ao da multiplicação.
Para resolver, basta decorar e executar a seguinte frase " Divisão de frações, repete o denominador e multiplica pelo inverso do denominador"

 Perceba que o 3/4 ficou inalterado, e o 5/2, agora é um 2/5 ( ou seja foi invertido) dai é só multiplicar.

*Na verdade esse é o método fácil de se trabalhar, mas o correto e dividir numerador com numerador e denominador com denominador. Mas no final das contas, é a mesma coisa.


PREPAREM-SE PARA UMA REVELAÇÃO QUE IRÁ REVOLUCIONAR SUA IDEIA DE NÚMERO.  Todo número que conhecemos e usamos é na verdade, uma Fração

Os números 1, 2 ,3 .... não são assim, na verdade como não vemos o denominador deles, isso quer dizer que o valor dele é ' 1 '. Ou seja esses números são na verdade 1/1 , 2/1 , 3/1 .... E o que isso muda, nada na verdade. Porém sabendo disso, podemos:


4.5 -Multiplicar/Dividir frações por números:
Como poderíamos multiplicar 3/4 por 2? Ora 2 não é na verdade 2/1 ? Então basta multiplicarmos  3/4 por 1/2 e o resultado será 3/8

Dividir é exatamente igual. Para dividir 4/7 por 3. Basta dividir 4/7 por 3/1, mas na divisão de frações, invertemos a segunda fração e multiplicamos pela primeira, ou seja 4/7 vezes 1/3. E o resultado é 4/21 (4 x 1 = 4 ; 7 x 3 = 21  -->  4/21)



5 - Simplificação em fração:

Quando temos uma fração, se fizermos uma operação matemática com o numerador e com o denominador também, a fração não se altera. Por exemplo:
Quanto vale 3/5?   = 0,6, Correto.
E se eu multiplicasse o numerador por 2, e depois multiplicasse o denominador por 2, o que mudaria?
Só mudaria a estética, parece outro número, mas veja:
O resultado é 6/10, e quanto essa fração vale? 0,6 também. Isso acontece com qualquer fração e qualquer operação matemática.
        Mas porque?   Observem a conta feita, 3/5 foi multiplicado por 2/2 (multiplicou o numerador por 2, e depois multiplicou o denominador por 2).

Quanto vale 2/2 ? A resposta, vale 1 . E se eu multiplicar um número por 1, o número não muda, o 1 é o que chamamos 'elemento neutro da multiplicação', ou seja, qualquer número vezes 1 dá o próprio número.

Mas sabendo disso, para que serve?
Pense na multiplicação 
Ela não é muito difícil de se fazer, mas tem muita coisa para se fazer nessa conta se você simplesmente multiplicar, só que quanto mais coisa você faz maior a chance de errar, sem contar que se for em um vestibular, você não precisa gastar tempo fazendo contas que não tem necessidade de serem feitas. Contas que se você simplificar ela fica muito mais simples;
Perceba que na primeira fração, são dois números pares, ou seja, ambos dividem por 2. E notem que a segunda fração, pode ser dividia direto (Afinal sabemos que 15 dividido por 5 dá 3) logo essa conta pode ser simplificada para:
Muito mais fácil, inclusive já sabemos o resultado, 9/5
A maioria dos exercícios que envolvem frações sempre exigem o número na sua forma mais simplificada possível. Por exemplo, calculamos anteriormente em um exemplo, e encontramos um valor 6/20  que ainda pode ser simplificado,  podemos dividir os dois termos por 2, e teremos como resultado um 3/10. 

Podemos também, alterar um número para deixá-lo mais conveniente de trabalhar, por exemplo quanto vale 0,1 dividido por 0,3? Essa conta é fácil de se errar, para facilitar, podemos multiplicar denominador e numerador por 10. Daí resulta-se em 1 dividido por 3, que é muito mais fácil de se fazer.


6 - Numero < - > Fração
Já foi explicado anteriormente que uma fração pode virar um número, mas e um número, pode virar uma fração? Sim, acompanhe
Exemplos:

0,6 -> É na verdade 6/10, simplificamos no tópico anterior e descobrimos que resulta em 3/5


*( Eu disse que todos os números são uma fração e disse aqui que podemos transformar um número em fração. Na verdade aquele número que transformamos, já era mesmo uma fração, nós apenas encontramos uma outra fração correspondente a aquele valor em especifico.)

E para transformar uma dízima periódica em fração?

0,77777 por exemplo. Pegaremos em casos onde todos os números são iguais (todos são '7'), apenas o primeiro dígito e depois dividiremos por 9. Assim, teremos

7/9 e se você dividir, o valor encontrado será exatamente, 0,7777777...  

E quando for mais de um valor a repetição, faremos um processo muito similar, pegaremos a repetição e dividiremos por uma sequência de '9's de mesma quantidade do número repetido. Exemplo:

0,8787878787....   (Notem que o '87' se repete infinitamente, pegaremos esse valor e dividiremos por por uma sequência de dois '9's , porque o número que se repete tem dois dígitos)

Assim: 87/99  

E com mais repetições?

0,653653653....  ( Um número de três dígitos se repete, então dividiremos por uma sequência de três '9's)

653/999

 E assim, faremos esse processo para qualquer outro valor de repetições




Como faria uma divisão com zero no denominador? E com 1? 

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