Equações do Segundo Grau

Na mesma linha de pensamento das Equações de Primeiro Grau. Temos as de segundo.
Como o nome sugere, são equações onde a resposta final, é na verdade 2 valores.

* Apenas relembrando que outras postagens anteriores são fundamentais para o entendimento dessa, tais como Igualdades  e Ordem de Preferência .

Na postagem de equação do primeiro grau tínhamos algo como 3x +2 = 0 .
Percebam o 'x'. Sabemos que quando não tem nada em cima de um número é porque tem um 1. Por isso que era chamado de equação do 1º grau. Porque o expoente máximo encontrado era 1.

Portanto o maior número de expoente é chamado de grau. Portanto até então tínhamos equações de grau 1. E agora, teremos de grau 2:

2x² - 3 = 0

Temos um '2' em cima do x. Sempre que encontrarmos um valor em cima do x, podemos generalizar o número de respostas finais é igual ao número do expoente. Nesse caso, temos duas respostas para essa equação.

Podemos resolver essa equação como resolvemos qualquer outra igualdade:

2x² = 3
x² = 3/2
x² = 1,5
x = √1,5

Muitos chegam aqui e pensam. Mas não deveria encontrar dois valores? Sim, inclusive encontramos dois valores.
√1,5 = 1,225.

 Só que sabemos que 1,225 ao quadrado é 1,5. Porém, -1,225 ao quadrado também é 1,5
Portanto, √1,5 é = 1,225 ou -1,225

Pronto, encontramos 2 resultados, exatamente como esperado.


Nem todos as equações que encontraremos vão ser tão simples assim (aliás, raramente encontraremos equações tão fáceis assim). Essas equação são chamadas de Equações Incompletas. Pois faltam termos.

Uma maneira padrão de encontrarmos é:
ax² + bx + c = 0

Onde a, b e c são números. Sendo que a não é 0
Uma das  principais diferenças da equação do segundo grau é a presença de dois ou 'x's, sendo que nós não poderemos somar um com o outro (veremos isso mais abaixo)

Apenas frisando, não pode ser a=0 , porque 0.x² = 0 . Ou seja, se o a =0 só teremos bx +c = 0 . E isso é uma equação do primeiro grau)

Agora não podemos resolver como resolvíamos as igualdades. Vamos ter de usa a chamada fórmula de Bhaskara

Antes de irmos definitivamente para ela, devemos prestar a atenção que a fórmula só pode ser usada quando o lado direito da igualdade for 0. Se não for, devemos fazer virar um 0.

Essa é a formula:
Primeiro

Onde
Δ = Delta.
a,b,c= são os números da equação.

Mas isso não é tudo. Depois de encontrarmos o valor de Delta, temos de continuar.
Segundo

Percebam que logo após o 'b' tem um + e um - . Isso é porque teremos de fazer essa conta duas vezes. Uma com o mais e outra com o menos.
* Essa expressão, é a expressão completa. Mas alunos com um pouco de dificuldade podem separa-la em duas para facilitar:


De qualquer forma, essa parte final precisa ser feita duas vezes, por isso que nesse última imagem, podemos ver um ' em cima do x . E um " em cima do outro x. Isso quer dizer que os x são a primeira e a segunda resposta da equação de segundo grau. 
*Algumas pessoas entretanto acham mais fácil resolver tudo junto, então, em todo caso:


O resultado final sera igual. Apenas que a última fórmula não precisa do Delta, os resultados já saem direto.

Vamos a um exemplo:

x² - 5x = -6

Só podemos utilizar Bhaskara se no lado direito da igualdade tiver um 0. Não é esse o caso, logo, teremos que fazer aparecer um zero lá. Para isso, passaremos o -6 para o outro lado.

x² - 5x + 6 = 0

Agora, vamos identificar o a,b e c
a = 1         (É o valor que acompanha o x²)
b = -5       (É o valor que acompanha o x, inclusive com sinal de negativo)
c = 6         (É o valor que não tem nenhum x, ou seja, o número sozinho)

Colocando na fórmula

E agora, resolvemos


Encontrado o Delta, agora só nos resta encontrar os valores de x:



Pronto. x' = 3 e x" = 2


Tem outra maneira de se resolver esse exercício, e as outras equações do segundo grau. É pelo chamado Soma e Produto.

Essa maneira é mais rápida de se resolver o problema, e apesar de funcionar em todos os casos, o único problema desse método é que algumas questões são impossíveis de se achar o resultado através desse método. Veremos isso mais tarde.

Vamos resolver o mesmo exercício por Soma e Produto:
x² - 5x + 6 = 0
Vamos usar duas fórmulas para isso. Quando for:
Soma =  -b/a 
Produto = c/a

Assim:
 -b /a  -> - (-5) / 1 = 5

c/a ->  6/1 =   6

Agora fazemos  uma tabela:
Sabemos que a soma é 5. Então precisamos de todos os números que somados deem 5 (existem infinitos, então vamos só nos primeiros, mas pode escolher quaisquer dois números)

-2+7
-1+6
 1+4               (Percebam que o resultado da soma desses números é sempre 5)
 2+3

E então, agora que sabemos alguns números que somados dão 5, precisamos que eles ao mesmo tempo, ao serem multiplicados deem como resultado 6. (Afinal foi esse o valor que encontramos em produto)
Vamos repetir esses números que escolhemos em cima, e agora multiplicaremos um pelo outro:
-2+7   (-2 x 7 = -14   )
-1+6   (-1 x 6 = -6 )
 1+4    (1 x 4 = 4 )
 2+3    (2 x 3 = 6) 

Encontramos, 2 e 3. Somados eles dão 5, e multiplicados eles dão 6. Sendo assim, esses dois números são a resposta da nossa equação.

Foi mais fácil resolver desse jeito, do que por Bhaskara, principalmente porque achamos esses valores bem facilmente, mas se fossem números maiores que 2 ou 3 teríamos que testar cada vez mais números e se tornaria uma tarefa cada vez maior. Imaginem se a nossa Soma tivesse dado 15 e o Produto 56.
Para soma 15 temos:

-4+19
-3+18
-2+17
-1+16
1 + 14
2 + 13
3 + 12
4 + 11
5 + 10
6 + 9
7 + 8     (7 x 8 = 56)    

(Percebam que teríamos de testar 11 casos para encontrar a resposta, e esse número ainda poderia ser maior)

Ou poderia ser quase impossível. Veja

2x² - 3x - 7

Ao fazer Soma e Produto :
Soma: 3/2  = 1,5
Produto:  c/a = -7/2 = -3,5

Um macete para entender a Soma e Produto, é fazer uma pergunta "Quais são os dois números cuja soma é 1,5 e o produto entre eles é 3,5?"
 Para uma pessoa, é praticamente impossível de resolver essa. (Eu diria que é impossível!)
Os números que teríamos que testar são infinitos. Apenas para ilustrar o que eu estou dizendo, vamos a resposta:
Os números são -1,2656654 e 2,7655644.  Eles estão inclusive, arredondados.

Nesse caso, não tem escapatória, teríamos de usa Bhaskara. Vamos lá:
2x² - 3x - 7
a = 2
b = -3
c = -7


Aproveitando o que encontramos, vejam que o Delta deu um valor que não tem raiz quadrada exata, por isso que o número foi tão quebrado desse jeito.

Por fim, veremos uma última maneira de se resolver esses exercícios. Mas no mesmo esquema do Soma e Produto, é mais fácil, mas só alguns casos, outros são praticamente impossíveis de se resolver. Vamos por razões obvias resolver o primeiro exemplo:
x² - 5x + 6 = 0
Como aprendemos em igualdade, o que está no lado esquerdo da igualdade tem que ser igual ao que está a direita da igualdade. Portanto, podemos chutar valores para 'x' e resolver para ver se encontramos 0. Veja:

x=1 Todos os lugares em que tiver um 'x' vamos colocar esse valor 1:

1² - 5.1 + 6 
1 - 5 + 6
2  ≠ 0 

x = 2
2² - 5.2 + 6
4 - 10 + 6
0 = 0

     Encontramos um valor que 'zera' nossa equação, então esse valor '2', é a resposta. Mas aí está uma das maiores falhas desse método, não tem como ter certeza que essa é a única resposta, deveríamos continuar testando para ver se encontramos outra resposta. (Sabemos que tem outra, mas somente porque já resolvemos esse exercício duas vezes)

x = 3
3² - 5.3 + 6
9 - 15 + 6
0 = 0 

Portanto, as respostas são 2 e 3.

Agora que vimos isso, vamos nos aprofundar nas nomenclaturas. Esse 'valor' que encontramos por S e P (Soma e Produto) ou Bhaskara é chamado de Raiz. Ou ainda, é chamada de Zero(s) da função. Exatamente porque esse valor, ao ser substituído na função, resulta em zero. 

Agora que aprendemos essa parte, voltemos para o Bhaskara por um momento:
Em alguns casos podemos encontrar:

* ∆ > 0 (Positivo) Então a equação tem 2 raízes reais distintas.
* ∆ = 0 → a equação tem somente uma raiz real (Ou 2 raízes iguais).
* ∆ < 0 → a equação não tem  raiz real. 

Podemos então, avançar para os gráficos, mas esse conteúdo é para outra postagem.
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