Mas e se fizermos o contrário? E se colocássemos vários valores de x ?
O resultado ia ter a mesma lógica, só que ao contrário, afinal, em cada cada valor de x, será encontrado valores para a igualdade. Observe:
3x + 6 = 0
Chutando, aleatoriamente, valores para x e então substituindo-os na equação, é possível verificar qual o novo valor para a igualdade:
x | Resultado
-2 | 3 . (-2) + 6 = 0
-1 | 3 . (-1) + 6 = 3
0 | 3 . (0) + 6 = 6
1 | 3 . (1) + 6 = 9
2 | 3 . (2) + 6 = 12
3 | 3 . (3) + 6 = 15
4 | 3 . (4) + 6 = 18
5 | 3 . (5) + 6 = 21
6 | 3 . (6) + 6 = 24
Percebam que para cada valor de x, foi encontrado um outro valor, para esse valor vamos dar o nome de y.
Essas informações encontradas são chamadas de Pontos, ou ainda Coordenadas (Valores com x e y).
Na matemática é sabido que os números são infinitos. Dessa forma, os números que podem ser chutados para substituir em 'x' também são, assim, os resultados encontrados para 'y' também serão infinitos.
Para não haver a necessidade de tentar calcular todos os infinitos valores, é que existem os Gráficos:
Antes de mais nada, é desenhado um Plano Cartesiano. Que é composto por dois eixos, que são compostos por valores. É o que se segue.
A linha na horizontal é chamada Abscissa (Valores de 'x'). E a Vertical é chamada de Ordenada (Valores de 'y')
Para fazer o gráfico da equação utilizada anteriormente, associaremos os valores de x aos valores encontrados em y.
Começando por:
x = -2 ; y = 0 (Encontrando o local correspondente a esse ponto na abscissa e na ordenada, ou seja, 2 "risquinhos" em x, para a esquerda, porque é negativo e nenhum "risquinho" para cima ou para baixo, pois, a ordenada é zero)
x = -1 ; y = 3 (1 "risquinho" em x, novamente para a esquerda, pois, também é negativo e, agora, 3 risquinhos para cima na ordenada)
x = 0 ; y = 6 (0 "risquinhos" em x, ou seja, não fazer nada. 6 "risquinhos" para cima)
Demarcando com um ponto cada uma dessas coordenadas encontradas, tem-se:
Então, basta unir esses pontos com um traço e tem-se o gráfico da função
É interessante notar que não é necessário que o desenho, da reta que conecta os pontos, comece no primeiro ponto e nem que termine no último, porém, é necessário que passar por todos eles.
Por fim, antes de finalizar, o gráfico também é infinito, ou seja, ele se prolongo tanto para cima quanto para baixo, assim como os números.
* Para se desenhar um gráfico do primeiro grau, só é necessário que saibamos de 2 valores, afinal "Por dois pontos passa uma reta". Portanto, se tem-se dois pontos, tem-se a reta.
Mais um exemplo, para fixar:
2x + 2 = 0
x | Resultado
-2 | 2 . (-2) + 2 = -2
-1 | 2 . (-1) + 2 = 0
0 | 2 . 0 + 2 = 2
1 | 2 . 1 + 2 = 4
2 | 2 . 2 + 2 = 6
3 | 2 . 3 + 2 = 8
Após, pode-se desenhar:
Equações do Segundo Grau
O primeiro passo é exatamente igual ao do 1° Grau.
Nesse caso, o gráfico não será mais uma linha reta e sim uma parábola (o desenho está logo abaixo).
Uma parábola precisa estar voltada para baixo ou para cima. E a determinação de qual lado será se dá pelo termo 'a' da equação. Vamos usar um exemplo da postagem de equação do 2º grau:
x² - 5x + 6 = 0
Seguindo alguns passos:
1º - Determinar os termos da equação:
a = 1
b = -5
c = 6
2º Analisar o 'a'.
Se o 'a' for maior que zero (portanto um valor positivo), então a concavidade é virada para cima, se for menor do que zero (negativo), então, será virada para baixo.
Escrevendo matematicamente tem-se:
a > 0 - Cima;
a < 0 - Baixo.
Ou ainda tem um macete. Se a for maior que zero, então é POSITIVO e uma pessoa positiva é feliz.
E se a for menor que zero, é NEGATIVO e uma pessoa negativa, está triste:
Assim, definimos que Parábola é esse U, da maneira convencional ou de cabeça para baixo.
Os zeros são 2 e 3
4º Determinar o valor de c
c = 6
Vamos marcar no gráfico:
* Os zeros da Função: Um zero da função, tem esse nome porque o valor em y é zero (2 , 0) e (3 , 0)
* Os zeros da Função: Um zero da função, tem esse nome porque o valor em y é zero (2 , 0) e (3 , 0)
* Um ponto (0, c)
Não precisamos marcar, mas como a > 0 então nossa parábola está com sua concavidade voltada para cima.
Agora, desenha-se uma parábola passando por esses três pontos, com a concavidade volta para cima.
E então, basta completar o desenho. (Pois gráficos são infinitos, ou seja, devem continuar à direita).
Mais um gráfico, apenas para concluir:
x² + 3x - 5 = 0
No começo do passo a passo mencionado anteriormente, já é possível perceber que esse gráfico não é simples de se fazer. Ao calcular as raízes através do método de Bhaskara, o resultado encontrado não é inteiro).
Então, irei ensinar uma maneira de desenhar gráficos difíceis.
O método consiste em não desenhar tão fielmente. Já que esse gráfico é difícil, faremos um gráfico próximo do gráfico correto.
Sabemos que c = -5
E que a > 0 . Logo a concavidade da parábola é virada para cima.
Olhando agora para o 'b'. Sempre que o b for maior que zero, o gráfico passará pelo eixo Y enquanto estiver subindo. Dessa forma, podemos fazer um esboço:
Percebam que o gráfico tem uma forma, mas os valores não estão claros, ou seja, não é possível afirmar com certeza quanto valem os zeros da função.
* Exceto durante o ensino médio, os gráficos não precisam ser feitos com exatidão. Gráficos servem para observar o que acontece com o Y sempre que o X muda de valor, ou seja, se o Y aumenta ou diminui.
Dessa forma, em vestibulares ou na vida profissional, só um esboço já é o suficiente. Caso seja necessário determinar os valores com exatidão é possível utilizar calculadoras que fazem esses gráficos (na vida profissional).
E, como eu disse, no ensino médio é necessário ter exatidão nos valores, porém, via de regra, os exercícios não serão tão difíceis, afinal, precisam ser feitos a mão.
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Edson