Matriz

Matriz de ordem m x n: que é disposta em m linhas e n colunas. Diz-se então que a matriz tem ordem m x n.
Exemplos.:

A = ( 1 0 2 -4 5)  Uma linha e cinco colunas ( matriz de ordem 1 x 5)

B é uma matriz de quatro linhas e uma coluna, portanto 4 x 1.

As matrizes possuem vários nomes de acordo que variam de acordo com suas características:

1-Se m = n, então dizemos que a matriz é quadrada.

Ex:.

A matriz X é uma matriz quadrada 3x3, dita naturalmente de ordem 3 .

Uma matriz A de ordem m x n, pode ser indicada como A = (a_ij )_mxn , onde a_ij é um elemento da linha i e coluna j na matriz.

Por exemplo , na matriz X temos que  a₂₃ = 2 , a₃₁ = 4 , a₃₃ = 3 , a_3,2 = 5 , etc.

2-Matriz Identidade de ordem n : I_n = ( a_ij )_{n x n} onde a_ij = 1 se i = j e a_ij = 0 se i ¹ j .

Assim a matriz identidade de ordem 2x2:

(Identidade porque a diagonal principal é composta somente por 1 e a auxiliar é composta por 0.)

A matriz identidade 3x3 é:
(também porque a diagonal principal é composta apenas pelo numero 1)

3- Transposta de uma matriz A: é chamada de matriz A^t obtida de A trocando-se as linhas pelas colunas e vice-versa.

Ex.:

Note que a linha 1 da matriz A(2,3),virou coluna na matriz A^t .

A matriz A^t é a matriz transposta da matriz A .

3.1- se A = A^t , então dizemos que a matriz A é simétrica.

3.2) Se A = - A^t , dizemos que a matriz A é antissimétrica.
As matrizes simétricas e antissimétricas  também são quadradas .

3.3) sendo A uma matriz antissimétrica , temos que A + A^t = 0 (matriz nula) .

Multiplicação de matrizes

Para que exista o produto de duas matrizes A e B, o número de colunas de A, tem de ser o mesmo número de linhas de B.
Ex.:

L1= linha 1
C1=coluna 1

L1C1 = 3.2 + 1.7 = 13. Primeiro elemento da primeira linha x o primeiro numero da primeira coluna:
L1C2 = 3.0 + 1.5 = 5
L1C3 = 3.3 + 1.8 = 17
L2C1 = 2.2 + 0.7 = 4
L2C2 = 2.0 + 0.5 = 0
L2C3 = 2.3 + 0.8 = 6
L3C1 = 4.2 + 6.7 = 50
L3C2 = 4.0 + 6.5 = 30
L3C3 = 4.3 + 6.8 = 60,então a nova matriz  será:

Observe que o produto de uma matriz 3x2 por outra 2x3, resultou na matriz produto 3x3.
Obs: A x B ¹ B x A

DETERMINANTES

Um número, que é resultado de uma multiplicação de matriz quadrada, calculado de acordo com regras específicas para cada caso.

Somente as matrizes quadradas possuem um determinante .

Regra para o cálculo de um determinante 2x2.

O determinante de A será det(A) e calculado da seguinte forma :
det (A) = a . d – b . c
Ex.:

2.5-3.2 = 10-6 = 4

Regra para o cálculo de um determinante de 3ª ordem ( Regra de SARRUS).

SARRUS (diz-se Sarrí),seu nome completo é Pierre Frederic SARRUS (1798 - 1861), foi professor na universidade francesa de Strasbourg. A regra de SARRUS, tem data aproximada do ano de 1833.

Para o cálculo de um determinante de 3ª ordem pela Regra de Sarrus, temos que seguir alguns passos:

1-Reescreva ao lado da 3ª linha do matriz, a 1ª e 2ª linhas da matriz de novo .

2 - Efetue os produtos em "diagonal", somando nas principais e subtraindo nas auxiliares.

3 – Depois é só somar normalmente, e o resultado é o determinante da matriz dada.

Exemplo.:
Faça a duplicação  das duas primeiras colunas :

E depois multiplique as diagonais assim:

2.7.8+3.4.6+5.1.9-3.1.8-2.4.9-5.7.6
                                                                        112+ 72+45-24-72-210
                                                                                      
Lembrando que o resultado da multiplicação das diagonais principais (Vermelhas) você deve somar e as secundarias (Verde) subtrair.

Portanto, o determinante procurado é o número real negativo .- 77.

Notas : o determinante de uma matriz e de sua transposta são iguais: det(A) = det( A^t ).

O determinante que tem todos os elementos de uma linha ou coluna iguais a zero, é nulo.

Se trocarmos de posição duas filas paralelas de um determinante, ele muda de sinal.

Se det(A) = 0 , não existe a matriz inversa A^-1. Dizemos então que a matriz A é NÃO INVERSÍVEL .

Se det A ¹ 0 , então a matriz inversa A^-1 existe e é única . Dizemos então que a matriz A é INVERSÍVEL .

Exemplo.: Qual é o determinante:

Observe que a 2ª coluna é composta por zeros; FILA NULA = DETERMINANTE NULO, D = 0.

Calcule o determinante:

Ora, pelos 0s formando um triangulo, temos: D = 2.5.9 = 90